Jak na věc


vypocet vepsané kružnice

Obvod čtverce, plocha čtverce, obsah čtverce

    31 1.10. DŮKAZY VYBRANÝCH VĚT úloha Dokažte korektnost definice mocnosti bodu ke kružnici ze str. 14. Uvažujme kružnici k se středem S a poloměrem r a libovolný bod M, kterým vedeme dvě libovolné sečny kružnice k. Označme A, B průsečíky první sečny s kružnicí k, C, D průsečíky druhé sečny s kružnicí k. Definice mocnosti m bude korektní, pokud bude platit MA MB = MC MD. Důkaz rozdělíme na tři případy podle polohy bodu M. V prvním a druhém případě zvolíme označení průsečíků tak, že MA < MB, MC < MD (viz obrázek). Obr. k úloze M k Pak A = C = M a MA = MC = 0, takže i MA MB = MC MD = 0 (= m). 2. M leží vně kružnice k Platí MCB = MAD (uu: ADM = CBM obvodové úhly příslušné k oblouku AC, úhel BMD je společný), proto MC : MA = MB : MD, odkud MC MD = MA MB. 3. M leží uvnitř kružnice k Platí MCB = MAD (uu: ADM = CBM obvodové úhly příslušné k oblouku AC, úhly CMB a DMA jsou vrcholové), proto MC : MA = MB : MD, odkud MC MD = MA MB. úloha Je-li v (v 0) vzdálenost bodu M od středu S kružnice k


Příklady matematických řad pro výpočet PI

    48 KAPITOLA 2. APLIKACE ZÁKLADNÍCH POZNATKŮ (viz obr. vlevo). Vysvětlíme, že body N a P musí být průsečíky úsečky M b M c se stranami AC a AB. Obvod trojúhelníku MNP je tedy roven M b N + NP + P M c = M b M c. Pro jinou polohu bodů N, P (označme je N, P jako na obrázku) je totiž M b N + N P + P M c > M b P + P M c > M b M c. Nyní zbývá nalézt polohu bodu M tak, aby vzdálenost M b M c byla nejmenší. Vzhledem k užitým souměrnostem platí M b AM c = M b AC + CAB + M c AB = = MAC + CAB + MAB = 2 CAB, AM b = AM = AM c. Trojúhelník AM b M c je tedy rovnoramenný s konstantním vnitřním úhlem u vrcholu A. Všechny takové trojúhelníky jsou podobné. Základna M b M c bude tudíž nejkratší, pokud obě ramena budou nejkratší možná, tedy pokud bude vzdálenost M A nejmenší. To nastane, když je bod M patou výšky na stranu BC. úvaha bude stejná, ať začneme od libovolného bodu, proto i hledané body N a P musí být patami výšek na strany CA a AB. Trojúhelník M N P s nejmenším obvodem je proto tzv. trojúh
    52 KAPITOLA 2. APLIKACE ZÁKLADNÍCH POZNATKŮ Obr. k úloze Kružnice vepsaná čtyřúhelníku ABDE je i kružnicí vepsanou trojúhelníku ABC. Označme S její střed a G a, G b, G c body jejího dotyku se stranami BC, AC, AB. Čtyřúhelník ABDE je tětivový, takže EDB = 180 BAE = 180 α. Protože bod S leží na osách úhlů BAC a EDB, je G c AS = α 2 a v pravoúhlém trojúhelníku DSG a je G a SD = EDB = 90 ( 90 α 2 ) = α 2. Proto jsou pravoúhlé trojúhelníky SAG c, DSG a podobné a při označení ρ = SG a = = SG b = SG c platí ρ : AG c = DG a : ρ, neboli DG a = ρ2. Z výsledku úlohy AG c víme, že AG c = s a, CG a = s c, kde s = 1 2 (a + b + c), a za ρ2 dosadíme (s a)(s b)(s c) podle vzorce před zadáním úlohy. Celkem s (s b)(s c) b(s c) CD = CG a DG a = (s c) =, s s (s a)(s c) a(s c) CE = CG b EG b = (s c) =. s s Obvod čtyřúhelníku ABDE je proto o = AB + BG a + AG b + 2 DG a + 2 EG b = (s b)(s c) (s a)(s c) 2c(s c) = 2c = 2c + = s s s 52 2c(2s c). s


Výpočet PI na 201 desetinných míst dle 2.řady

    19 1.5. ČTYŘúHELNÍK, MNOHOúHELNÍK Součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku se rovná (n 2) 180. Čtyřúhelník D Různoběžník je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné. D Lichoběžník je čtyřúhelník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné a zbývající dvě strany nejsou rovnoběžné. Rovnoběžné strany se nazývají základny, zbývající dvě ramena. Lichoběžník, jehož ramena jsou shodná, nazýváme rovnoramenný lichoběžník. Lichoběžník, jehož jedno rameno je kolmé k základnám, nazýváme pravoúhlý lichoběžník. Střední příčka lichoběžníku je úsečka spojující středy jeho ramen. Střední příčka lichoběžníku je rovnoběžná s oběma základnami. Její délka je rovna aritmetickému průměru délek obou základen. D Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož obě dvojice protějších stran jsou rovnoběžné. Obdélník je rovnoběžník, jehož všechny vnitřní úhly jsou pravé (pravoúhlý rovnoběžník). Čtverec je obdélník, jehož všechny strany mají stejnou délku (je rovnostranný). Kosodélník je rovnoběžník, jehož


Metody neanalytických výpočtů v eukleidovské geometrii

    5 Abstrakt disertační práce úkolem disertační práce bylo zmapovat oblast obtížnějších neanalytických výpočtových úloh v eukleidovské geometrii, tedy projít dostupné tuzemské i zahraniční učebnice, sbírky úloh a ročenky matematických soutěží, vybrat reprezentativní úlohy, vhodně roztřídit, uspořádat a vyložit je v metodicky zaměřeném textu. První kapitola práce přehledně shrnuje nejdůležitější poznatky školské planimetrie a trigonometrie potřebné pro řešení geometrických výpočtových úloh. Vybrané poučné důkazy, jejichž postupy jsou užitečné při řešení úloh, jsou vypracovány na konci kapitoly. Ve stěžejní druhé kapitole jsou metodicky sdružovány úlohy řešené jedním prostředkem bez většího provázání s dalšími tématy. Smyslem je umožnit osvojování umění geometrických výpočtů po etapách podle jednotlivých metod, přitom však nabídnout zajímavé úlohy s často netriviálními výsledky. O náplni kapitoly více vypovídají názvy podkapitol Trojúhelníková nerovnost, Délky tečen ke kružnici, Obsah troj


Výpočet PI na 201 desetinných míst dle 3.řady

    26 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY A VÝSLEDKY Pro všechna x R platí sin ( π 2 x) = cos x, cos ( π 2 x) = sin x, sin(π x) = sin x, cos(π x) = cos x, sin( x) = sin x, cos( x) = cos x Důkazy vybraných vět V uvedených důkazech jsou použity obvyklé středoškolské postupy. Proto jsou tyto důkazy vhodné i jako úlohy k procvičení a jsou také jako úlohy formulovány. Základními stavebními kameny, ze kterých jejich řešení vychází, jsou vlastnosti dvojic úhlů a věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků. Trojúhelník úloha Dokažte, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je úhel přímý. Vrcholem C trojúhelníku ABC veďme rovnoběžku p se stranou ABC (viz obrázek). úhel sevřený přímkou p a stranou CA je shodný s vnitřním úhlem při vrcholu A (střídavé úhly), analogicky je úhel sevřený přímkou p a stranou CB shodný s vnitřním úhlem při vrcholu B. Z uvedeného je již tvrzení zřejmé. Obr. k úloze úloha Dokažte, že vnější úhel trojúhelníku je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech. Opět vy


Výpočet PI jako součet nekonečné matematické řady

    61 2.3. OBSAH TROJúHELNÍKU již můžeme určit délku BN c = BB c = CB c a = s a, podobný výsledek vyjde u ostatních úseků: BN c = CN b = s a = 1 2 ( a + b + c), AN c = CN a = s b = 1 2 (a b + c), AN b = BN a = s c = 1 2 (a + b c). Poznamenejme, že hledané délky úseků tečen v řešení obou úloh a mají stejné vyjádření, z čehož plyne zajímavý poznatek o poloze bodů dotyku vepsané a připsané kružnice. Na obr. 7 vlevo jsou v trojúhelníku ABC vyznačeny body G a, G b, G c dotyku kružnice vepsané, na stejném obrázku vpravo pak v tomtéž trojúhelníku body N a, N b, N c dotyku kružnic připsaných, shodné úseky jsou vyznačeny v obou obrázcích stejnou barvou. Je patrné, že body dotyku kružnice vepsané a připsané se zvolenou stranou trojúhelníku (např. body G c a N c na straně AB) jsou souměrně sdružené podle středu této strany. Obr. 7 body dotyku kružnice vepsané a kružnic připsaných 2.3 Obsah trojúhelníku Protože obsah je vedle obvodu nejvýznamnější skalární veličina, již rovinným útvarům obecně přiřaz
    80 KAPITOLA 2. APLIKACE ZÁKLADNÍCH POZNATKŮ Obr. k úloze kde s je polovina jeho obvodu. Analogicky S = S BCD +S DAB = 1 2 ρ( BC + CD + BD )+ 1 2ρ( DA + AB + BD ) = ρs+ρ BD. Porovnáním obou vyjádření přímo dostáváme AC = BD. úloha Označme U průsečík osy úhlu γ trojúhelníku ABC se stranou c. Dokažte vzorec 50 CU = 2ab cos γ 2. a + b Obr. k úloze Označme x = CU hledanou délku. Obsah trojúhelníku ABC určíme dvěma způsoby. Nejprve jako součet obsahů trojúhelníků BCU a ACU, poté přímo s využitím vzorce 50 [Doob 93, str. 2/5], o jiném vyjádření těchto úseků os pojednáváme v úloze na straně


Výpočet PI na 201 desetinných míst

    58 KAPITOLA 2. APLIKACE ZÁKLADNÍCH POZNATKŮ Poznámka: V případě, že by zadání poslední úlohy připouštělo vnější dotyk kružnic nebo dokonce shodné kružnice dotýkající se rovnoběžných přímek, platí tvrzení také a důkaz je snadný. úloha Uvnitř stran AB, BC, CD a DA konvexního čtyřúhelníku ABCD jsou po řadě zvoleny body K, L, M a N. Označme S průsečík přímek KM a LN. Je-li možno vepsat kružnice čtyřúhelníkům AKSN, BLSK, CMSL a DNSM, je možno vepsat kružnici i čtyřúhelníku ABCD. Dokažte. 25 Obr. k úloze Předpokládejme, že zmíněným čtyřem čtyřúhelníkům lze vepsat kružnice a označme body dotyku těchto kružnic podle obrázku. Čtyřúhelníku ABCD lze vepsat kružnici, právě když pro délky jeho stran platí AB + CD = BC + DA. Díky souměrnosti tečen AP 1 = AP 1, BP 2 = BP 2, CP 3 = CP 3, DP 4 = DP 4 můžeme uvedenou rovnost, kterou potřebujeme dokázat, přepsat nejprve do tvaru P 1 P 2 + P 3 P 4 = P 2 P 3 + P 4 P 1 a následně na základě souměrnosti společných vnějších tečen dvou kružnic P 1 P 2 = = Q 1


Algoritmus pro výpočet Ludolfova čísla PI

    40 KAPITOLA 2. APLIKACE ZÁKLADNÍCH POZNATKŮ úloha Dokažte, že pro libovolný bod M uvnitř trojúhelníku ABC platí 1 CA + CB > MA + MB. Obr. k úloze Označme N průsečík přímky BM a strany AC (viz obrázek). V trojúhelníku N BC platí NB < NC + CB, v trojúhelníku AMN platí MA < AN + NM. Celkem CA + CB = AN + NC + CB > AN + NB = = AN + NM + MB > MA + MB. úloha Dokažte, že pro libovolný vnitřní bod M trojúhelníku ABC platí 2 MA + MB + MC < a + b + c. Třikrát použijeme výsledek úlohy a sečteme: a + b > MA + MB, b + c > MB + MC, c + a > MC + MA, celkem 2(a + b + c) > 2( MA + MB + MC ). úloha Dokažte, že v libovolném trojúhelníku ABC platí 3 t a + t b + t c > 3 4 (a + b + c) Podle předchozí úlohy víme, že pro těžiště T jakožto vnitřní bod trojúhelníku ABC platí T A + T B + T C < a + b + c (viz obrázek). Stačí sem dosadit T A = 2 3 t a, T B = 2 3 t b, T C = 2 3 t c a tvrzení je dokázáno. 1 [And 04, str. 36/3] 2 [Pra 86b, str. 9/15.7] 3 [Bot 69, str. 73/8.1], [Pra


Copyright © Dossani milenium group 2000 - 2020
cache: 0000:00:00