Jak na věc


vypocet vepsané kružnice

Výpočet PI na 201 desetinných míst

    95 2.5. VÝPOČTY úHLŮ V KRUŽNICI níku P T S je P T S = 180 ( P SQ + SP R ) = ( P OQ + SOR ) = = = 90, protože příslušné oblouky P BQ a RDS společně tvoří polovinu kružnice. úloha úhlopříčky AD, BH pravidelného osmiúhelníku ABCDEF GH se protínají v bodě X. Určete velikost úhlu BXD. 69 Obr. k úloze Pravidelný osmiúhelník má kružnici opsanou (její střed označme S), využijeme tedy vlastnosti obvodových a středových úhlů: ABH = 1 2 ASH = = 22,5, BAD = 1 2 BSD = = 45. úhel BXD je vnějším úhlem v trojúhelníku AXB, je tedy BXD = ABH + BAD = 67,5. úloha Do kružnice je vepsán šestiúhelník ABCDEF takový, že AB = BC, CD = DE, EF = F A. Dokažte, že platí AD BF (stejně jako BE DF a CF BD) [Gar 02, str. 43/12] 70 Přeformulováno podle [Tao 06, str. 50/4.1] 95


Algoritmus pro výpočet Ludolfova čísla PI

    9 úvod Následující řádky krátkého vstupního textu přibližují, jak je v souladu se zadáním projektu celá předložená práce sestavena. Po popisu jejích kapitol po obsahové i formální stránce stručně nastíním, jak jsem v průběhu přípravy postupovala. V první, teoreticky zaměřené kapitole jsou přehledně shrnuty nejdůležitější poznatky školské planimetrie a trigonometrie potřebné pro řešení geometrických výpočtových úloh. Některé z těchto poznatků jsou dokázány odděleně ve druhé části kapitoly. Při rozhodování, které důkazy do textu zařadit, jsem posuzovala, které postupy jsou poučné a užitečné i z hlediska dalšího uplatnění při řešení úloh. Druhá kapitola je v práci stěžejní. Ze značného množství obtížnějších výpočtových úloh, které jsem s rozmyslem vybrala po prostudování dostupné české i zahraniční literatury, jsou v kapitole metodicky sdružovány úlohy řešitelné jedním prostředkem bez většího provázání s dalšími tématy. Případní uživatelé našeho textu tak budou mít možnost osvojovat si um


Obvod čtverce, plocha čtverce, obsah čtverce

    86 KAPITOLA 2. APLIKACE ZÁKLADNÍCH POZNATKŮ je lichoběžník). Bod S 1 leží na ose AA 1 úhlu BAC a polopřímka AS 2 je osou úhlu BAA 1, takže S 2 AS 1 = BAS 2 = 1 4 CAB. úhly BAS 2 a S 1 S 2 A jsou střídavé, proto také S 1 S 2 A = BAS 2 a trojúhelník AS 2 S 1 je tudíž rovnoramenný, AS 1 = S 1 S 2. Analogicky BS 2 = S 1 S 2 a lichoběžník ABS 2 S 1 je proto rovnoramenný se shodnými vnitřními úhly BAS 1, ABS 2. Proto jsou také úhly BAC, ABC shodné a trojúhelník ABC je rovnoramenný. úloha Nechť O je střed kružnice k nad průměrem CD a E její bod, pro který DOE = α. Prodlužme průměr CD za bod C do bodu A tak, aby polopřímka AE proťala kružnici v bodě B s vlastností AB = OD. Vypočtěte velikost úhlu EAO. 57 Obr. k úloze Označme β velikost hledaného úhlu. Podle zadání je AB = OD, protože body B a E leží na kružnici k, platí navíc OD = OB = OE. Na obrázku jsou znázorněny tři možné situace. Mezní případ (na obr. vpravo) nastává, pokud je přímka AE tečnou ke kružnici k, potom body E a B sp


Metody neanalytických výpočtů v eukleidovské geometrii

    104 KAPITOLA 2. APLIKACE ZÁKLADNÍCH POZNATKŮ tětivové, neboť vždy jejich dva protější vnitřní úhly jsou pravé. Proto NKU = NAU = α, LMU = LCU = γ, UKL = UBL = β, UMN = UDN = δ. V pravoúhlém trojúhelníku AUD je α + δ = 90, v pravoúhlém trojúhelníku CUB pak β + γ = 90. Celkem NKL + LMN = α + β + γ + δ = = 180, a čtyřúhelník KLM N je proto tětivový. úloha Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC a jeho vnitřní bod T takový, že AT B = BT C = CT A (= 120 ). Označme M, N, P paty kolmic z bodu T po řadě na strany BC, CA, AB. Kružnice opsaná trojúhelníku MNP protíná přímky BC, CA, AB podruhé po řadě v bodech M, N, P. Dokažte, že trojúhelník M N P je rovnostranný. 80 Obr. k úloze Body P, N, N, P leží na kružnici, proto AN P = NN P = 180 NP P = = AP N, případně přímo AN P = NP P = AP N při jiném pořadí bodů na kružnici. Čtyřúhelník AP T N je tětivový, protože dva jeho protější vnitřní úhly jsou pravé, je tedy AP N = AT N. Celkem AN P =


Výpočet PI jako součet nekonečné matematické řady

    101 2.5. VÝPOČTY úHLŮ V KRUŽNICI Obr. k úloze odkud plyne rovnost BED + ADE = 1 2 (α+β), kterou spolu se zadanou hodnotou γ = 60 využijeme k výpočtu DP E = 180 ( BED + ADE ) = (α + β) = (180 γ) = 120 a vidíme, že čtyřúhelník DCEP je tětivový. Nyní již stačí uvážit shodnost úhlů P CE, P DE, P AE a zjistíme, že trojúhelník AP C je rovnoramenný a AP = P C, analogicky BP = CP a bod P je tak středem kružnice trojúhelníku ABC opsané. Při řešení úloh je důležité všímat si zejména úhlů, které jsou pravé, neboť ty mohou napomoci při objevům Thaletových kružnic a potažmo i tětivových čtyřúhelníků. Čtyřúhelník, jehož dva protější vnitřní úhly jsou pravé, je totiž tětivový. Střed kružnice opsané takovému čtyřúhelníku je navíc středem jeho úhlopříčky, jež odděluje oba vrcholy pravých úhlů (viz obr. 11). Tětivové čtyřúhelníky, jejichž opsaná kružnice má střed v průsečíku úhlopříček, jsou právě obdélníky a čtverce. Obr. 11 tětivové čtyřúhelníky s pravými vnitřními úh
    7 Obsah úvod 9 1 Základní pojmy a výsledky Zařazení tématu v učebnicích gymnázia úhly, kružnice Trojúhelník Shodnost a podobnost Čtyřúhelník, mnohoúhelník Pravoúhlý trojúhelník Obecný trojúhelník Obsahy rovinných útvarů Goniometrické vzorce Důkazy vybraných vět Aplikace základních poznatků Trojúhelníková nerovnost Délky tečen ke kružnici Obsah trojúhelníku Výpočty úhlů v trojúhelníku Výpočty úhlů v kružnici Pythagorova věta Sinová věta Kosinová věta Rozšiřující poznatky a jejich aplikace Trojúhelník Čtyřúhelník Tečnový a tětivový čtyřúhelník Dvojstředový čtyřúhelník Aplikace rozšiřujících poznatků Závěr 220 Seznam použité literatury 221


Příklady matematických řad pro výpočet PI

    47 2.1. TROJúHELNÍKOVÁ NEROVNOST Obr. k úloze Ukážeme, že hledaný bod M je průsečíkem přímky p a úsečky AB, kde B je obrazem bodu B v osové souměrnosti s osou p (viz obrázek). Pro libovolný jiný bod M na přímce p platí AM + BM = AM + B M > AB = AM + B M = AM + BM. úloha Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC. Určete polohu bodů M, N, P po řadě na stranách BC, CA, AB trojúhelníku tak, aby byl obvod trojúhelníku MNP minimální. 14 Obr. k úloze Představme si nejprve, že známe polohu bodu M na straně BC a hledáme body N, P. Zobrazme bod M v osových souměrnostech s osami AB a AC, získáme tak body M b a M c 14 [And 04, str. 39/15] 47


Výpočet PI na 201 desetinných míst dle 2.řady

    15 1.2. úHLY, KRUŽNICE 1. m = MA MB, kde A, B jsou průsečíky dané kružnice k s libovolnou její sečnou procházející bodem M. Hodnota uvedeného součinu na výběru sečny nezávisí, je tedy určena daným bodem M. 2. m > 0 pro body M vně kružnice, m = 0 pro body M k, m < 0 pro body M uvnitř kružnice. Hodnota m se nazývá mocnost bodu M ke kružnici k. 1 Je-li v (v 0) vzdálenost bodu M od středu S kružnice k o poloměru r, pak pro mocnost m platí m = v 2 r 2. Pro délku tečny z bodu M vně kružnice k s bodem dotyku T platí neboli MT 2 = m, MT 2 = MA MB, kde body A, B jsou průsečíky kružnice k s libovolnou sečnou procházející bodem M. Společné tečny dvou kružnic Na obr. 4 jsou zobrazeny vnitřní (resp. vnější) společné tečny dvou kružnic, vyznačené vzdálenosti bodů dotyku se nazývají délky společných tečen. Obr. 4 společné tečny dvou kružnic (vlevo vnitřní a vpravo vnější) Existují-li dvě vnitřní (resp. vnější) společné tečny dvou kružnic, mají shodnou délku. Na obr. 4 jsou v obou případech úseč


Výpočet PI na 201 desetinných míst dle 3.řady

    34 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY A VÝSLEDKY Sestrojme kružnici k dotýkající se stran AB, BC a CD čtyřúhelníku ABCD. Veďme bodem A druhou tečnu k této kružnici, která protne přímku CD v některém bodě X. Pak čtyřúhelník ABCX je tečnový a platí Podle předpokladu úlohy víme, že Odečtením obou rovností dostáváme AB + CX = BC + XA. AB + CD = BC + DA. CX CD = XA DA, neboli CX CD = XD. Proto bod X leží na úsečce CD a platí X = D, tudíž čtyřúhelník ABCD je tečnový. úloha Dokažte, že deltoid je tečnový čtyřúhelník. Zvolme označení ABCD daného deltoidu tak, aby úhlopříčka BD procházela středem S (k ní kolmé) úhlopříčky AC. Pak AB = BC a AD = DC, neboť ABS = CBS (sus) a ADS = CDS (sus). Proto AB + CD = BC + AD a deltoid ABCD je skutečně tečnový čtyřúhelník. Pravoúhlý trojúhelník úloha Dokažte Eukleidovu větu o výšce. Využijeme obrázek. Trojúhelníky ACC 0, CBC 0 jsou podobné (uu), proto c b : v = v : c a, odtud přímo v 2 = c a c b. úloha Dokažte Eukleidovu větu o odvěsně. Opět využijeme obrázek. Trojú


Copyright © Dossani milenium group 2000 - 2020
cache: 0000:00:00